高中数学三角形正余弦定理是考试当中必考的知识点, 通常也会结合角差正余弦展开.如下题
题目:中文
AI智能翻译: 英文
解析思路::
1.从题目已知信息出发,因为题目提供了sinB/2是已知信息,所以自然会想到利用这个信息去求解sinB或cosB的值.
首先要知道一个二倍角转换的公式:
如果不知道这个公式就可以试着从cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 令α=β=B/2 展开得到
cosB=
cosB/2.cosB/2-sinB/2.sinB/2 又因为 cos²B/2+sin²B/2=1
于是可以得到如下两个等式
cosB=1-sin²B/2-sin²B/2 =1-2sin²B/2 或
cosB=cos²B/2-(1-cos²B/2)=2cos²B/2-1
所以,根据这些信息,我们可以求出了cosB值
2.我们注意到题目的已知信息当中,还有一个sinA与sinC的等式,自然我们立刻马上回想到
正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ( 如何理解这个定理, 你需要知道在一个三角形当中命名的通用规范: 角A对应的边是a, 角B对应的边是b, 角C对应的边是c 这个是通用的定义规范.)
于是我们将正弦定理进行整理可以得到:
a.sinC=c.sinA a.sinB=b.sinA c.sinB=b.sinC
显然要符合我们已知的条件, 只能选择 a.sinC=c.sinA
跟我们已知的b.sinA= 6½a.sinC c=1 联立 我们可以消掉a 从而得到b的值
- 通过1,2步骤我们知道了cosB,b,c值 ,要求a 自然我们想到了余弦定理: 因为余弦定理有3个公式,看我们选择哪个? 余弦公式的本质是: 两边边长已知,对应两边夹角已知求对边即
a²=b²+c²-2bc.cosA b²=a²+c²-2ac.cosB c²=a²+b²-2ab.cosC
很显然,我们选择: b²=a²+c²-2ac.cosB (因为b,c已知, cosB已知,减少计算量) a>0
这样我们就能求出a的值了.
4.要求面积:我们使用S=1/2ab.sinC=1/2ac.sinB=1/2.bc.sinA 因为(a,b,c都求出来了)
所以我们必须求出sinA,或sinC ,sinB任意一个值即可,考虑到第2问有2A,于是我们可以求sinA值
二:完整的解题过程如下:
